پیمان و اجدادش اصالتا ماهانی هستند که این از نام خانوادگی وی مشخص است. به نقل از استاد باسنانی پاریزی نام بابائی نیز احتمالا از پیر صاحب نفس شیخ علی بابا که از مریدان شاه نعمت‌الله بود، الهام گرفته شده باشد. مقبره‌ی این شیخ در روستای سکنج و در ۲۰ کیلومتری ماهان قرار دارد.
ماهان شهر کوچکیست در ۳۶ کیلومتری جنوب کرمان قرار دارد و شهرت آن به خاطر آب و هوای فرح‌بخشش و وجود بنا‌های باستانی همچون آرامگاه علرف بزرگ شاه نعمت‌الله ولی و باغ شاهزاده می‌باشد.
در مورد اسم این شهر روایات مختلفی وجود دارد. سید محمد‌علی گلاب‌زاده در کتاب ماهان به نقل از عبد‌الرزاق کرمانی می‌نویسد که در گذشته به جای ماهان، این شهر را هامان می‌نامیدند. این اسم به قول او از آذرماهان سرچشمه میگیرد که از سوی انوشیروان حکومت کرمان، سیستان، مکران و بلوچستان منتصب شده بود.
پیمان عشق خاصی برای زادگاهش داشت و در یکی از اشعارش به عنوان زادگاهم ماهان میگوید:

محمد علی بابایی متخلص به پیمان از شعرای خوش قریحه، فرهنگیان خوش نام و فرزانگان معاصر کرمان است. وی به سال ۱۳۰۱ شمسی در ماهان متولد شد، و تحصیلات ابتدایی را در دبستان نعمتيه ماهان و دوره متوسطه را در دبیرستان سعادت و دانشسرای مقدماتی کرمان به پایان برد و به عنوان شاگرد ممتاز به دانشسرای عالی اعزام و در رشته طبیعی فارغ التحصیل شد، بابایی با مراجعت به کرمان در دانشسرا و دبیرستان های این شهر مشغول تدریس شد. وی مدتی را در شهرستان بم به تدریس پرداخت و چندی به عنوان کفالت اداره آموزش و پرورش آن شهرستان انجام وظیفه کرد سپس به کرمان منتقل شد و به امر تدریس در دبیرستان های این شهر اشتغال یافت و سرانجام در سال ۱۳۵۶ به افتخار بازنشستگی نایل آمد. از این شاعر گرانمایه، دفتر شعری در قالب ها و سبکهای مختلف قصیده، غزل و رباعی باقی است. وی با مطبوعات نیز همکاری داشت و اغلب آثارش در جراید کرمان تهران و مشهد به چاپ می رسید. بابایی مدتی نیز، مدیریت داخلی روزنامه انديشه کرمان را عهده دار بود (دست نوشته ایشان، موجود در آرشیو مرکز کرمان شناسی). از باقیات صالحات این انسان فرهیخته، کتابخانه ایست که در جوار منزل شخصی و یا حقوق مختصر بازنشستگی بنا کرده و مورد استفاده فرزندان این دیار است. بابایی پس از ۸۱ سال عمر با عزت، در بهار سال ۱۳۸۲ دار فانی را بدرود گفت و در بهارستان هنرمندان کرمان به خاک سپرده شد.